Na teoria das probabilidades, a lei do logaritmo iterado (também chamada de LIL, do inglês law of iterated logarithm) descreve a magnitude da oscilação do passeio aleatório. A definição original desta lei foi feita pelo matemático soviético Aleksandr Khinchin em 1924.^[1] No entanto, a tese contida nesta foi expandida por Andrei Kolmogorov em 1929.^[2]

Seja ${\displaystyle \{Y_{n}\}}$ variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média zero e desvio unitário. Seja ${\displaystyle S_{n}=Y_{1}+\dots +Y_{n}}$. Então,

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\log \log n}}}={\sqrt {2}},\qquad {\text{q.c.}},}$

onde ${\displaystyle \log }$ é o logaritmo natural, ${\displaystyle \limsup }$ indica o limite superior, e ${\displaystyle {\text{q.c.}}}$ significa "quase certamente".^[3][4]

A lei de iterado logaritmos opera "entre" a lei dos grandes números e o teorema central do limite. Existem duas versões da lei dos grandes números — a fraca e a forte — e ambas afirmam que as somas ${\displaystyle S_{n}}$, dimensionadas por ${\displaystyle n^{-1}}$, convergem para zero, respectivamente em probabilidade e quase certamente:

${\displaystyle {\frac {S_{n}}{n}}\ {\xrightarrow {p}}\ 0,\qquad {\frac {S_{n}}{n}}\ {\xrightarrow {q.c.}}0,\qquad {\text{conforme}}\ \ n\to \infty .}$

Por outro lado, o teorema central do limite afirma que as somas ${\displaystyle S_{n}}$ dimensionadas pelo fator ${\displaystyle n^{-1/2}}$ convergem em distribuição para uma distribuição normal padrão. Pela lei zero-um de Kolmogorov, para qualquer ${\displaystyle M}$ fixo, a probabilidade de que o evento ${\displaystyle \limsup _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}>M}$ ocorra é 0 ou 1. Então

${\displaystyle \Pr \left(\limsup _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}>M\right)\geqslant \limsup _{n}\Pr \left({\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}>M\right)=\Pr \left({\mathcal {N}}(0,1)>M\right)>0}$

o que resulta que

${\displaystyle \limsup _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}=\infty \qquad {\text{com probabilidade 1.}}}$

Argumento idêntico mostra que

${\displaystyle \liminf _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}=-\infty \qquad {\text{com probabilidade 1.}}}$

Isto implica que essas quantidades não convergem quase certamente. Ainda, eles também não convergem em probabilidade, o que resulta da igualdade

${\displaystyle {\frac {S_{2n}}{\sqrt {2n}}}-{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {S_{2n}-S_{n}}{\sqrt {n}}}-\left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right){\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}}$

e o fato de que as variáveis aleatórias

${\displaystyle {\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\quad {\text{e}}\quad {\frac {S_{2n}-S_{n}}{\sqrt {n}}}}$

são independentes, e ambas converge em distribuição para ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1).}$

A lei do logaritmo iterado fornece o fator de escala, onde os dois limites tornam-se diferentes:

${\displaystyle {\frac {S_{n}}{\sqrt {n\log \log n}}}\ {\xrightarrow {p}}\ 0,\qquad {\frac {S_{n}}{\sqrt {n\log \log n}}}\ {\stackrel {q.c.}{\nrightarrow }}\ 0,\qquad {\text{conforme}}\ \ n\to \infty .}$

Assim, embora a quantidade ${\displaystyle S_{n}/{\sqrt {n\log \log n}}}$ é menos do que qualquer predefinidos ${\displaystyle \varepsilon >0}$ com probabilidade se aproximando de um, essa quantidade, no entanto, irá sair desse intervalo infinitamente, e de fato irá passar nos vizinhos de qualquer ponto no intervalo ${\displaystyle (-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}})}$ quase certamente.

A lei do logaritmo iterado para uma soma de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média zero e incrementos delimitados remontam a Khinchin e Kolmogorov na década de 1920. Desde então, há uma enorme quantidade de trabalhos sobre a LIL para vários tipos de estruturas dependentes e processos estocásticos.

Hartman e Wintner generalizaram a lei do logaritmo iterado para passeios aleatórios com incrementos com zero de média e variância finita. Strassen estudou a LIL do ponto de vista dos princípios da invariância.^[5] Stout generalizou a LIL para martingales estacionários e ergódicos.^[6] Acosta fez uma prova simples da versão de LIL de Hartman e Wintner. Wittmann generalizou a versão de LIL de Hartman e Wintner para passeios aleatórios satisfazendo condições mais amenas.^[7] Vovk derivou uma versão de LIL válida para uma única sequência caótica (sequência aleatória de Kolmogorov). Isso é notável por estar fora do reino da teoria da probabilidade clássica.^[8] Yongge Wang mostrou que a lei do logaritmo iterado se mantém para sequências pseudo-aleatórias de tempo polinomial.^[9][10]

• Teorema central do limite
• Lei dos grandes números
• Movimento browniano

Referências

• Portal de probabilidade e estatística
• Portal da matemática