กฎการหาอนุพันธ์

บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ
แคลคูลัส
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
ทฤษฎีบทมูลฐาน ลิมิตของฟังก์ชัน ความต่อเนื่อง ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ทฤษฎีบทของโรลล์
แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ นิยาม อนุพันธ์ (ภาพรวม) ผลต่างอนุพัทธ์ กณิกนันต์ ผลต่างอนุพัทธ์ของฟังก์ชัน ผลต่างอนุพัทธ์รวม แนวคิด สัญกรณ์สำหรับการหาอนุพันธ์ อนุพันธ์อันดับสอง อนุพันธ์อันดับสาม การเปลี่ยนแปลงตัวแปร การหาอนุพันธ์โดยปริยาย อัตราสัมพัทธ์ ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ กฎและเอกลักษณ์ กฎผลรวม กฎผลคูณ กฎลูกโซ่ กฎเลขยกกำลัง กฎผลหาร กฎของโลปีตาล กฎไลบ์นิซทั่วไป สูตรของฟาดีบรูโน
แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ รายชื่อปริพันธ์ นิยาม ปฏิยานุพันธ์ ปริพันธ์ (ไม่ตรงแบบ) ปริพันธ์รีมันน์ ปริพันธ์เลอเบก ปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ การหาปริพันธ์ ทีละส่วน จาน แบบเปลือกทรงกระบอก แทนค่า (แทนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ) แยกเป็นเศษส่วนย่อย Order Reduction formulae
อนุกรม อนุกรมเรขาคณิต (ลำดับเลขคณิต–เรขาคณิต) อนุกรมฮาร์มอนิก อนุกรมสลับ อนุกรมกำลัง อนุกรมทวินาม อนุกรมเทย์เลอร์ การทดสอบการลู่เข้า Summand limit (term test) Ratio Root Integral Direct comparison Limit comparison Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
แคลคูลัสเวกเตอร์ เกรเดียนต์ ไดเวอร์เจนซ์ เคิร์ล Laplacian Directional derivative Identities ทฤษฎีบท ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ ทฤษฎีบทเกรเดียนต์ ทฤษฎีบทของกรีน ทฤษฎีบทเคลวิน–สโตกส์
แคลคูลัสหลายตัวแปร Formalisms แคลคูลัสเมทริกซ์ แคลคูลัสเทนเซอร์ ภายนอก แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต นิยาม อนุพันธ์ย่อย ปริพันธ์หลายชั้น ปริพันธ์ตามเส้น ปริพันธ์เชิงพื้นผิว ปริพันธ์เชิงปริมาตร จาโคเบียน เมทริกซ์แบบเฮสเซอ
พิเศษ แคลคูลัสเชิงเศษส่วน มาลียาแว็ง แคลคูลัสเฟ้นสุ่ม แคลคูลัสของการแปรผัน
ด ค ก

บทความนี้เป็นการสรุปสูตรและกฎการหาอนุพันธ์ หรือกฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันในแคลคูลัส

ฟังก์ชันทั้งหมดเป็นฟังก์ชันของจำนวนจริง (R) ที่ให้ค่าจริง เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น แม้ว่าโดยทั่วไปแล้ว สูตรด้านล่างนี้จะใช้ได้ทุกเมื่อที่มีการนิยามไว้อย่างรัดกุม^[1][2] รวมถึงกรณีของจำนวนเชิงซ้อน (C) ด้วย^[3]

สำหรับฟังก์ชั่น ${\displaystyle f}$ และ ${\displaystyle g}$ และจำนวนจริง ${\displaystyle a}$ และ ${\displaystyle b}$ ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ${\displaystyle h(x)=af(x)+bg(x)}$ ในส่วน ${\displaystyle x}$ คือ${\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {(c)-(c)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}0\\&=0\end{aligned}}}$

บทพิสูจน์แสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ใดๆ เป็น 0

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด ๆ หนึ่งคือความชันของเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดนั้น ความชันของฟังก์ชันคงที่เป็นศูนย์ เนื่องจากเส้นสัมผัสของฟังก์ชันคงที่เป็นแนวนอนและมุมเป็นศูนย์

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือค่าของฟังก์ชันคงที่ y จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อค่าของ x เพิ่มขึ้นหรือลดลง

สำหรับฟังก์ชัน${\displaystyle f}$ และ ${\displaystyle g}$ และจำนวนจริง ${\displaystyle a}$ และ ${\displaystyle b}$ ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ${\displaystyle h(x)=af(x)+bg(x)}$ ที่ส่วน ${\displaystyle x}$ คือ ${\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x)}$

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป

$${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}}$$

กรณีพิเศษต่าง ๆ ได้แก่

• กฎตัวประกอบค่าคงที่ $${\displaystyle (af)'=af'}$$
• กฎผลรวม $${\displaystyle (f+g)'=f'+g'}$$
• กฎผลต่าง $${\displaystyle (f-g)'=f'-g'.}$$

สำหรับฟังก์ชั่น ${\displaystyle f}$ และ ${\displaystyle g}$ ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$ ในส่วน ${\displaystyle x}$ คือ

$${\displaystyle h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$$

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป

$${\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}=g{\frac {df}{dx}}+f{\frac {dg}{dx}}}$$

  ไปที่แนวคิดของการจับคู่ และอนุพันธ์ที่เป็นการจับคู่ ${\displaystyle {\text{D}}}$ ซึ่งเขียนได้กระชับยิ่งขึ้นได้ดังนี้

$${\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,}$$

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ${\displaystyle h(x)=f(g(x))}$ คือ$${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}$$

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)=\left.{\frac {d}{dz}}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x)}$$

มักจะย่อเป็น $${\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}}$$

สำหรับค่า ${\displaystyle c}$ ใด ๆ เมื่อ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$, ถ้า ${\displaystyle f(x)}$ คือฟังก์ชันคงที่ โดยที่ ${\displaystyle f(x)=c}$ แล้ว ${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=0}$ ^[4]

ถ้าฟังก์ชัน f มีฟังก์ชันผกผัน g ซึ่งหมายความว่า ${\displaystyle g(f(x))=x}$ และ ${\displaystyle f(g(y))=y}$ แล้ว $${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}}$$

เมื่อ ${\displaystyle r=1}$ จะเป็นกรณีพิเศษถ้า ${\displaystyle f(x)=x}$ แล้ว ${\displaystyle f'(x)=1}$

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป $${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}}$$

ถ้า ${\displaystyle f(x)=x^{r}}$ สำหรับจำนวนจริงใดๆ ${\displaystyle r\neq 0}$ แล้ว

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}}$

การรวมกฎยกกำลังเข้ากับกฎผลรวมและกฎการคูณด้วยค่าคงที่ ทำให้สามารถคำนวณอนุพันธ์ของพหุนามใด ๆ ได้

อนุพันธ์ของ ${\displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}}$ สำหรับฟังก์ชัน f (ไม่เป็นศูนย์ที่จุดใด) ใด ๆ คือ

${\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}}$ โดยที่ f ไม่เป็นศูนย์

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป

${\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}}$

กฎส่วนกลับสามารถได้มาจากกฎผลหาร หรือจากการรวมกันของกฎยกกำลังและกฎลูกโซ่

ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชัน แล้ว

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }$ โดยที่ g ไม่เป็นศูนย์

ซึ่งสามารถได้มาจากกฎผลคูณและกฎส่วนกลับ

${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right)\quad }$

ที่ซึ่งเมื่อทั้งสองฝั่งได้นิยามไว้อย่างรัดกุม

กรณีพิเศษ

• ถ้า ${\textstyle f(x)=x^{a}\!}$ แล้ว ${\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}$ เมื่อ a เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ และ x เป็นบวก
• กฎส่วนกลับเป็นกรณีพิเศษโดยที่ ${\textstyle g(x)=-1\!}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0}$

สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก c แต่อนุพันธ์เมื่อ ${\textstyle c<0}$ ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>1}$

สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก c แต่ให้ผลเป็นจำนวนเชิงซ้อนหาก ${\textstyle c<0\!}$ -

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x},\qquad x\neq 0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(W(x)\right)={1 \over {x+e^{W(x)}}},\qquad x>-{1 \over e}.\qquad }$ เมื่อ ${\displaystyle W(x)}$ คือฟังก์ชันดับเบิลยูลัมแบร์ท

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{if }}f(x)>0,{\text{ and if }}{\frac {df}{dx}}{\text{ and }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ exist.}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ if }}f_{i<n}(x)>0{\text{ and }}}$ ${\displaystyle {\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ exists. }}}$

อนุพันธ์เชิงลอการิทึมเป็นอีกวิธีหนึ่งในการระบุกฎสำหรับการหาอนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชัน (โดยใช้กฎลูกโซ่):

${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }$ โดยที่ f เป็นบวก

อนุพันธ์เชิงลอการิทึม เป็นเทคนิคที่ใช้ลอการิทึมและกฎการหาอนุพันธ์เพื่อทำให้นิพจน์บางอย่างง่ายขึ้นก่อนที่จะนำอนุพันธ์ไปใช้จริง^{[ต้องการอ้างอิง][ จำเป็นต้องอ้างอิง ]}

ลอการิทึมสามารถใช้เพื่อลบเลขยกกำลัง แปลงการคูณเป็นการรวม และแปลงการหารเป็นการลบ ซึ่งแต่ละค่าอาจนำไปสู่นิพจน์ที่ง่ายขึ้นในการหาอนุพันธ์

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan x={\frac {1}{1+x^{2}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\csc x=-\csc {x}\cot {x}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec x=\sec {x}\tan {x}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot x=-\csc ^{2}x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-1-\cot ^{2}x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x=-{1 \over 1+x^{2}}}$

ค่าสัมบูรณ์ในตารางด้านบนมีไว้สำหรับเมื่อช่วงของซีแคนต์ผกผันเป็น ${\displaystyle [0,\pi ]\!}$ และเมื่อช่วงของโคซีแคนต์ผกผันเป็น ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$

เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดฟังก์ชันแทนเจนต์ผกผันที่มีอาร์กิวเมนต์สองตัว ${\displaystyle \arctan(y,x)}$ ค่าของฟังก์ชันอยู่ในช่วง ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ และสะท้อนจตุภาคของจุด ${\displaystyle (x,y)}$ สำหรับจตุภาคที่หนึ่งและสี่ (เช่น ${\displaystyle x>0}$ ) มี ${\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x)}$ อนุพันธ์ย่อยขอฟังก์ชันคือ

${\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\qquad }$และ${\displaystyle \qquad {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x={\operatorname {sech} ^{2}x}=1-\tanh ^{2}x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x={\frac {1}{1-x^{2}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x=-\operatorname {csch} {x}\coth {x}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x=-\operatorname {sech} {x}\tanh {x}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=-\operatorname {csch} ^{2}x=1-\coth ^{2}x}$	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x=-{\frac {1}{x^{2}-1}}}$

ดูฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกสำหรับข้อจำกัดเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้

ฟังก์ชันแกมมา

${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma '(x)&=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt\\&=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)\\&=\Gamma (x)\psi (x)\end{aligned}}}$

กับ ${\displaystyle \psi (x)}$ เป็น ฟังก์ชันไดแกมม่า ซึ่งแสดงโดยนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บทางด้านขวาของ ${\displaystyle \Gamma (x)}$ ในบรรทัดด้านบน

ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta '(x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \\&=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\end{aligned}}}$

สมมติว่าจำเป็นต้องหาอนุพันธ์ในส่วน x ของฟังก์ชัน

${\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt}$

ที่ฟังก์ชั่น ${\displaystyle f(x,t)}$ และ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)}$ ต่อเนื่องทั้ง ${\displaystyle t}$ และ ${\displaystyle x}$ ในบางบริเวณของระนาบ ${\displaystyle (t,x)}$ รวมทั้ง ${\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$ และฟังก์ชัน ${\displaystyle a(x)}$ และ ${\displaystyle b(x)}$ ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ต่อเนื่องได้สำหรับ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$ - แล้วเมื่อ ${\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}}$ -

${\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,}$

สูตรนี้เป็นรูปแบบทั่วไปของ กฎอินทิกรัลของไลบ์นิซ และสามารถหาได้โดยใช้ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

มีกฎบางกฎมีขึ้นสำหรับการคำนวณอนุพันธ์อับดับที่ n ของฟังก์ชัน โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งรวมถึง

ถ้า f และ g สามารถหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}}$$ เมื่อ ${\textstyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$ และเซต ${\displaystyle \{k_{m}\}}$ ประกอบด้วยคำตอบจำนวนเต็มไม่เป็นลบทั้งหมดของสมการไดโอแฟนไทน์ ${\textstyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$ -

ถ้า f และ g สามารถหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}$$

• ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้
• ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของฟังชัน
• การหาอนุพันธ์ของปริพันธ์
• การหาอนุพันธ์ภายใต้เครื่องหมายปริพันธ์
• ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก
• ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกผกผัน
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน – ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• รายการปริพันธ์
• รายการฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์
• แคลคูลัสเมทริก
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติ – ฟังก์ชันของมุมPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• เอกลักษณ์แคลคูลัสเวกเตอร์

กฎเหล่านี้มีอยู่ในหนังสือหลายเล่ม ทั้งแคลคูลัสพื้นฐานและขั้นสูง ในวิชาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ สิ่งที่อยู่ในบทความนี้ (นอกเหนือจากอ้างอิงข้างต้น) สามารถพบได้ใน

• คู่มือคณิตศาสตร์ของสูตรและตาราง (ฉบับที่ 3), S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009,ISBN 978-0-07-154855-7 .
• คู่มือสูตรฟิสิกส์ของเคมบริดจ์, G. Woan, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010,ISBN 978-0-521-57507-2 .
• วิธีทางคณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์และวิศวกรรม, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010,ISBN 978-0-521-86153-3
• คู่มือ NIST ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์, FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010,ISBN 978-0-521-19225-5 .

• เครื่องคำนวณอนุพันธ์พร้อมการทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย