ในวิชาแคลคูลัส กฎลูกโซ่ (อังกฤษ : Chain rule ) คือสูตร สำหรับการหาอนุพันธ์ ของฟังก์ชัน คอมโพสิต
เห็นได้ชัดว่า หากตัวแปร y เปลี่ยนแปลงตามตัวแปร u ซึ่งเปลี่ยนแปลงตามตัวแปร x แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x หาได้จากผลคูณ ของอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ u คูณกับ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ u เทียบกับ x
สมมติให้คนหนึ่งปีนเขาด้วยอัตรา 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง อุณหภูมิ จะลดต่ำลงเมื่อระดับความสูงเพิ่มขึ้น สมมติให้อัตราเป็น ลดลง 6 °F ต่อกิโลเมตร ถ้าเราคูณ 6 °F ต่อกิโลเมตรด้วย 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จะได้ 3 °F ต่อชั่วโมง การคำนวณเช่นนี้เป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้กฎลูกโซ่
ในทางพีชคณิต กฎลูกโซ่ (สำหรับตัวแปรเดียว) ระบุว่า ถ้าฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ ได้ที่ g(x) และฟังก์ชัน g หาอนุพันธ์ได้ที่ x คือเราจะได้
f
∘
g
=
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle f\circ g=f(g(x))}
d
f
d
x
=
d
d
x
f
(
g
(
x
)
)
=
f
′
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {d}{dx}}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)}
นอกจากนี้ ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ กฎลูกโซ่เขียนแทนได้ดังนี้:
d
f
d
x
=
d
f
d
g
d
g
d
x
{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}}
เมื่อ
d
f
d
g
{\displaystyle {\frac {df}{dg}}}
f เปลี่ยนแปลงตาม g เหมือนเป็นตัวแปรหนึ่ง.
ในการหาปริพันธ์ ส่วนกลับของกฎลูกโซ่คือการหาปริพันธ์โดยการแทนค่า
กฎเลขยกกำลังทั่วไป สามารถนำมาใช้กับกฎลูกโซ่ได้
พิจารณา
f
(
x
)
=
(
x
2
+
1
)
3
{\displaystyle f(x)=(x^{2}+1)^{3}}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
h
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle h(g(x))}
g
(
x
)
=
x
2
+
1
{\displaystyle g(x)=x^{2}+1}
h
(
x
)
=
x
3
{\displaystyle h(x)=x^{3}}
d
d
x
y
{\displaystyle {\frac {d}{d}}{\frac {x}{y}}}
=
f
′
(
x
)
.
g
′
(
x
)
{\displaystyle =f'(x).g'(x)}
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
=
3
(
x
2
+
1
)
2
(
2
x
)
{\displaystyle =3(x^{2}+1)^{2}(2x)}
=
6
x
(
x
2
+
1
)
2
{\displaystyle =6x(x^{2}+1)^{2}}
ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
f
(
x
)
=
sin
(
x
2
)
,
{\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}),}
เราสามารถเขียน
f
(
x
)
=
h
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle f(x)=h(g(x))}
h
(
x
)
=
sin
x
{\displaystyle h(x)=\sin x}
g
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle g(x)=x^{2}}
f
′
(
x
)
=
2
x
cos
(
x
2
)
{\displaystyle f'(x)=2x\cos(x^{2})}
เนื่องจาก
h
′
(
g
(
x
)
)
=
cos
(
x
2
)
{\displaystyle h'(g(x))=\cos(x^{2})}
g
′
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle g'(x)=2x}
กฎลูกโซ่ใช้ได้กับฟังก์ชันหลายตัวแปรเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีฟังก์ชัน
f
(
u
(
x
,
y
)
,
v
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle f(u(x,y),v(x,y))}
u
(
x
,
y
)
=
3
x
+
y
2
{\displaystyle u(x,y)=3x+y^{2}}
v
(
x
,
y
)
=
sin
(
x
y
)
{\displaystyle v(x,y)=\sin(xy)}
ดังนั้น
∂
f
∂
x
=
∂
f
∂
u
∂
u
∂
x
+
∂
f
∂
v
∂
v
∂
x
=
3
+
cos
(
x
y
)
y
{\displaystyle {\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial f \over \partial v}{\partial v \over \partial x}=3+\cos(xy)y}
ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และให้ x เป็นจำนวนที่ f สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ g(x) และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ x ดังนั้น จากนิยามของการหาอนุพันธ์ได้ จะได้
g
(
x
+
δ
)
−
g
(
x
)
=
δ
g
′
(
x
)
+
ϵ
(
δ
)
{\displaystyle g(x+\delta )-g(x)=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\,}
ϵ
(
δ
)
δ
→
0
{\displaystyle {\frac {\epsilon (\delta )}{\delta }}\to 0\,}
δ
→
0.
{\displaystyle \delta \to 0.}
ในทำนองเดียวกัน
f
(
g
(
x
)
+
α
)
−
f
(
g
(
x
)
)
=
α
f
′
(
g
(
x
)
)
+
η
(
α
)
{\displaystyle f(g(x)+\alpha )-f(g(x))=\alpha f'(g(x))+\eta (\alpha )\,}
η
(
α
)
α
→
0
{\displaystyle {\frac {\eta (\alpha )}{\alpha }}\to 0\,}
α
→
0.
{\displaystyle \alpha \to 0.\,}
จะได้
f
(
g
(
x
+
δ
)
)
−
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle f(g(x+\delta ))-f(g(x))\,}
=
f
(
g
(
x
)
+
δ
g
′
(
x
)
+
ϵ
(
δ
)
)
−
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle =f(g(x)+\delta g'(x)+\epsilon (\delta ))-f(g(x))\,}
=
α
δ
f
′
(
g
(
x
)
)
+
η
(
α
δ
)
{\displaystyle =\alpha _{\delta }f'(g(x))+\eta (\alpha _{\delta })\,}
ซึ่ง
α
δ
=
δ
g
′
(
x
)
+
ϵ
(
δ
)
{\displaystyle \alpha _{\delta }=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\,}
δ
→
0
{\displaystyle \delta \to 0}
α
δ
δ
→
g
′
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\alpha _{\delta }}{\delta }}\to g'(x)}
η
(
α
δ
)
δ
→
0
{\displaystyle {\frac {\eta (\alpha _{\delta })}{\delta }}\to 0}
f
(
g
(
x
+
δ
)
)
−
f
(
g
(
x
)
)
δ
→
g
′
(
x
)
f
′
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle {\frac {f(g(x+\delta ))-f(g(x))}{\delta }}\to g'(x)f'(g(x))}
δ
→
0
{\displaystyle \delta \to 0}
กฎลูกโซ่นั้นเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของนิยามของอนุพันธ์ทั้งหมด เช่น ถ้า E F และ G เป็น ปริภูมิบานาค (รวมไปถึงปริภูมิยูคลิด ด้วย) และ f : E → F และ g : F → G เป็นฟังก์ชัน และถ้า x เป็นสมาชิกของ E ซึ่ง f หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ f (x ) แล้ว อนุพันธ์ (อนุพันธ์เฟรเชต์ ) ของฟังก์ชันคอมโพสิต g o f ที่ x จะเป็นดังนี้
D
x
(
g
∘
f
)
=
D
f
(
x
)
(
g
)
∘
D
x
(
f
)
.
{\displaystyle {\mbox{D}}_{x}\left(g\circ f\right)={\mbox{D}}_{f\left(x\right)}\left(g\right)\circ {\mbox{D}}_{x}\left(f\right).}
สังเกตว่าอนุพันธ์นี้เป็นการแปลงเชิงเส้น ไม่ใช่ตัวเลข ถ้าการแปลงเชิงเส้นแทนด้วยเมทริกซ์ (จาโคเบียนเมทริกซ์ ) การรวมทางด้านขวาจะกลายเป็นการคูณเมทริกซ์
การกำหนดกฎลูกโซ่ที่ชัดเจนสามารถทำได้จากวิธีที่เป็นทั่วไปมากที่สุด คือ ให้ M N และ P เป็นแมนิโฟลด์ C k
f : M → N และ g : N → P เป็นการแปลงที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของ f แทนด้วย df จะเป็นการแปลงจากปมสัมผัสของ M ไปยังปมสัมผัสของ N และสามารถเขียนแทนด้วย
d
(
g
∘
f
)
=
d
g
∘
d
f
.
{\displaystyle {\mbox{d}}\left(g\circ f\right)={\mbox{d}}g\circ {\mbox{d}}f.}
ด้วยวิธีนี้ รูปแบบของอนุพันธ์และปมสัมผัสจะถูกมองเห็นในรูปฟังก์เตอร์ บน Category ของแมนิโฟลด์ C ∞ โดยมีการแปลง C ∞ เป็นสัณฐาน
ดู สนามเทนเซอร์ สำหรับคำอธิบายเกี่ยวกับบทบาทพื้นฐานของกฎลูกโซ่ในธรรมชาติทางเรขาคณิตของเทนเซอร์
