ลิมิตของฟังก์ชัน

ลิงก์ข้ามภาษาในบทความนี้ มีไว้ให้ผู้อ่านและผู้ร่วมแก้ไขบทความศึกษาเพิ่มเติมโดยสะดวก เนื่องจากวิกิพีเดียภาษาไทยยังไม่มีบทความดังกล่าว กระนั้น ควรรีบสร้างเป็นบทความโดยเร็วที่สุด

บทความนี้ไม่มีการอ้างอิงจากแหล่งที่มาใด กรุณาช่วยปรับปรุงบทความนี้ โดยเพิ่มการอ้างอิงแหล่งที่มาที่น่าเชื่อถือ เนื้อความที่ไม่มีแหล่งที่มาอาจถูกคัดค้านหรือลบออก (เรียนรู้ว่าจะนำสารแม่แบบนี้ออกได้อย่างไรและเมื่อไร)

${\displaystyle x}$	${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

ถึงแม้ว่าฟังก์ชัน (sin x)/x จะไม่นิยามที่ 0 แต่เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 0 มาก ๆ แล้ว (sin x)/x มีค่าเข้าใกล้ 1 หรืออีกนัยหนึ่ง ลิมิตของ (sin x)/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 มีค่าเท่ากับ  1

บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ
แคลคูลัส
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
ทฤษฎีบทมูลฐาน ลิมิตของฟังก์ชัน ความต่อเนื่อง ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ทฤษฎีบทของโรลล์
แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ นิยาม อนุพันธ์ (ภาพรวม) ผลต่างอนุพัทธ์ กณิกนันต์ ผลต่างอนุพัทธ์ของฟังก์ชัน ผลต่างอนุพัทธ์รวม แนวคิด สัญกรณ์สำหรับการหาอนุพันธ์ อนุพันธ์อันดับสอง อนุพันธ์อันดับสาม การเปลี่ยนแปลงตัวแปร การหาอนุพันธ์โดยปริยาย อัตราสัมพัทธ์ ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ กฎและเอกลักษณ์ กฎผลรวม กฎผลคูณ กฎลูกโซ่ กฎเลขยกกำลัง กฎผลหาร กฎของโลปีตาล กฎไลบ์นิซทั่วไป สูตรของฟาดีบรูโน
แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ รายชื่อปริพันธ์ นิยาม ปฏิยานุพันธ์ ปริพันธ์ (ไม่ตรงแบบ) ปริพันธ์รีมันน์ ปริพันธ์เลอเบก ปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ การหาปริพันธ์ ทีละส่วน จาน แบบเปลือกทรงกระบอก แทนค่า (แทนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ) แยกเป็นเศษส่วนย่อย Order Reduction formulae
อนุกรม อนุกรมเรขาคณิต (ลำดับเลขคณิต–เรขาคณิต) อนุกรมฮาร์มอนิก อนุกรมสลับ อนุกรมกำลัง อนุกรมทวินาม อนุกรมเทย์เลอร์ การทดสอบการลู่เข้า Summand limit (term test) Ratio Root Integral Direct comparison Limit comparison Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
แคลคูลัสเวกเตอร์ เกรเดียนต์ ไดเวอร์เจนซ์ เคิร์ล Laplacian Directional derivative Identities ทฤษฎีบท ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ ทฤษฎีบทเกรเดียนต์ ทฤษฎีบทของกรีน ทฤษฎีบทเคลวิน–สโตกส์
แคลคูลัสหลายตัวแปร Formalisms แคลคูลัสเมทริกซ์ แคลคูลัสเทนเซอร์ ภายนอก แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต นิยาม อนุพันธ์ย่อย ปริพันธ์หลายชั้น ปริพันธ์ตามเส้น ปริพันธ์เชิงพื้นผิว ปริพันธ์เชิงปริมาตร จาโคเบียน เมทริกซ์แบบเฮสเซอ
พิเศษ แคลคูลัสเชิงเศษส่วน มาลียาแว็ง แคลคูลัสเฟ้นสุ่ม แคลคูลัสของการแปรผัน
ด ค ก

ในวิชาคณิตศาสตร์ ลิมิตของฟังก์ชัน เป็นแนวคิดพื้นฐานในคณิตวิเคราะห์และแคลคูลัส ซึ่งเกี่ยวข้อกับพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้กับจุดที่สนใจจุดหนึ่ง

นิยามที่รัดกุมซึ่งนิยามเป็นครั้งแรกในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 ระบุไว้ด้านล่าง สำหรับแนวคิดอย่างไม่รัดกุมมากนัก ฟังก์ชัน f จะรับค่า x แล้วคืนค่าออกมาคือ f(x) เราจะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f มีลิมิต L ที่จุด p ก็ต่อเมื่อ ค่าของฟังก์ชัน f(x) จะเข้าใกล้ L มากขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อกำหนดค่า x ที่เข้าใกล้ค่า p ให้กับฟังก์ชันมากขึ้นเรื่อย ๆ

แนวคิดเรื่องลิมิตเป็นหัวใจหลักของแคลคูลัสสมัยใหม่ โดยเฉพาะแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชันอาศัยแนวคิดเรื่องลิมิตเป็นพื้นฐาน กล่าวคือ ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องถ้าสำหรับแต่ละจุดค่าของมันจะเท่ากับค่าของลิมิตที่จุดนั้น นอกจากนี้แนวคิดเรื่องลิมิตยังปรากฏในนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันอีกด้วย

แนวคิดเกี่ยวกับลิมิตยังขยายนัยทั่วไปออกไปบน ปริภูมิอิงระยะทาง และปริภูมิทอพอโลยี อีกด้วย

ดูที่ คณิตวิเคราะห์

กำหนดให้ ${\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} }$ เป็นฟังก์ชันบนช่วงเปิดที่เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง และ ${\displaystyle p,L\in \mathbb {R} }$ เป็นจำนวนจริงโดยที่ ${\displaystyle p\in (a,b)}$ เราจะกล่าวว่าลิมิตของ ${\displaystyle f}$ เมื่อ ${\displaystyle x}$ มีค่าเข้าใกล้ ${\displaystyle p}$ คือ ${\displaystyle L}$ ก็ต่อเมื่อ

สำหรับทุกค่า ${\displaystyle \varepsilon >0}$ จะมีจำนวนจริง ${\displaystyle \delta >0}$ ที่ทำให้สำหรับทุกค่า ${\displaystyle x}$ ถ้า ${\displaystyle 0<\left\vert x-p\right\vert <\delta }$ แล้ว ${\displaystyle \left\vert f(x)-L\right\vert <\varepsilon }$

ถ้าลิมิตของ ${\displaystyle f}$ เมื่อ ${\displaystyle x}$ มีค่าเข้าใกล้ ${\displaystyle p}$ คือ ${\displaystyle L}$ แล้วเราจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$

หรืออีกแบบหนึ่งได้เป็น

${\displaystyle f(x)\to L}$ เมื่อ ${\displaystyle x\to p}$ (อ่านว่า "${\displaystyle f(x)}$ มีค่าเข้าใกล้ ${\displaystyle L}$ เมื่อ ${\displaystyle x}$ มีค่าเข้าใกล้ ${\displaystyle p}$")

สังเกตว่านิยามลิมิตไม่ขึ้นอยู่กับค่าของ ${\displaystyle f}$ ที่จุด ${\displaystyle p}$ ยิ่งไปกว่านั้น ${\displaystyle f(p)}$ ไม่จำเป็นต้องหาค่าได้

กำหนดให้ f : (M,d_M) -> (N,d_N) เป็นการส่งค่าระหว่าง (เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน) ปริภูมิอิงระยะทาง สองปริภูมิ, และกำหนดให้ p ∈M และ L ∈N, เราจะกล่าวว่า "ลิมิตของ f ที่ p คือ L" และเขียนว่า:${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ ε > 0 จะมี δ > 0 ที่ สำหรับทุก ๆ x ∈M และ d_M(x, p) < δ แล้ว, d_N(f(x), L) < ε

ให้ f เป็นฟังก์ชันค่าจริง แล้ว ${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$ เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง ที่มีทั้ง M และ N เป็นเซตของจำนวนจริง และ d(x,y) = |x-y|.

หรือเราจะเขียน ${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=\infty }$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ R > 0 (ไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < |x-p| < δ, f(x) > R;

หรือจะเขียนว่า ${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=-\infty }$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ R < 0 จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < |x-p| < δ, f(x) < R.

ถ้าในนิยาม เราใช้ x-p แทน |x-p| เราก็จะได้ ลิมิตขวา เขียนแทนโดย :${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}}$ และถ้าใช้ p-x แทน ก็จะได้ ลิมิตซ้าย เขียนแทนโดย :${\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}}$

ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันค่าจริง เราจะพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เพิ่มขึ้น หรือลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

เราจะเขียน

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L}$

ระนาบเชิงซ้อน ที่มีตัววัด (metric) เป็น ${\displaystyle d(x,y):=|x-y|}$ จะเป็นปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ด้วยเช่นกัน จะมีลิมิตสองประเภทเมื่อเราพูดถึงฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน

สมมติให้ f เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน แล้วเราจะเขียนว่า

${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$

ได้ ก็ต่อเมื่อ

สำหรับ ε > 0 ใด ๆ จะมี δ >0 อย่างน้อย 1 ค่า ซึ่งสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ ซึ่ง 0<|x-p|<δ จะได้ |f(x)-L|<ε

นี่เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทางที่มีทั้ง M และ N เป็นระนาบเชิงซ้อน

เราจะเขียน

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L}$

ได้ ก็ต่อเมื่อ

สำหรับ ε > 0 ใด ๆ จะมี S >0 ซึ่งสำหรับจำนวนเชิงซ้อน |x|>S ใด ๆ เราจะได้ |f(x)-L|<ε

${\displaystyle \lim _{x\to 3}x^{2}=9}$	ลิมิตของ x2 เมื่อ x เข้าใกล้ 3 คือ 9 ในกรณีนี้ ฟังก์ชันนั้นต่อเนื่อง และค่าของมันมีนิยามที่จุดนั้น ค่าลิมิตจึงเท่ากับการแทนค่าฟังก์ชัน
${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1}$	ลิมิตของ xx เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทางขวาคือ 1
${\displaystyle \lim _{x\to 0}{1 \over x}={\mbox{Undefined}}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty }$	ลิมิตสองด้านของ 1/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 นั้นไม่มีนิยาม ลิมิตของ 1/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทางขวาคือ +∞
${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{|x| \over x}=1}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{|x| \over x}=-1}$	ลิมิตด้านเดียวของ |x|/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 คือ 1 จากด้านบวกและคือ -1 จากด้านลบ สังเกตว่า |x|/x = -1 เมื่อ x เป็นลบ และ |x|/x = 1 เมื่อ x เป็นบวก
${\displaystyle \lim _{x\to 0}x\sin {1 \over x}=1}$	ลิมิตของ x sin(1/x) เมื่อ x เข้าใกล้ 0 คือ 0
${\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }x^{-a}=0{\mbox{ if }}a\in \mathbb {R} ;a>0;x\in \mathbb {C} }$	ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบใด ๆ เข้าใกล้ 0 เมื่อขนาดของ x เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด
${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{x^{a} \over b^{x}}=0{\mbox{ if }}a,b\in \mathbb {R} ;b>0}$	ฟังก์ชันยกกำลังใด ๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังเพิ่มใด ๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด
${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\log _{b}x \over x^{a}}=0{\mbox{ if }}a,b\in \mathbb {R} ;a>0;b>0}$	ฟังก์ชันลอการิทึมใด ๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันยกกำลังที่เป็นบวกใด ๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด
${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{a^{x} \over x!}=0{\mbox{ if }}a\in \mathbb {R} }$	ฟังก์ชันเลขชี้กำลังใด ๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันแฟกทอเรียลใด ๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด

• ถ้า z เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ |z| < 1 แล้วลำดับ z, z², z³, ... ของจำนวนเชิงซ้อนจะลู่เข้าโดยมีลิมิตเป็น 0 โดยเรขาคณิตแล้ว จำนวนเหล่านี้จะ "เวียนเป็นก้นหอย" เข้าสู่จุดกำเนิด ตามเส้นก้นหอยลอการิทึม
• ในปริภูมิอิงระยะทาง C[a,b] ของฟังก์ชันต่อเนื่องใด ๆ ที่นิยามบนช่วง [a,b] โดยมีระยะทางเพิ่มขึ้นจาก Supremum norm สมาชิกทุกตัวสามารถเขียนในรูปของลิมิตของลำดับของ ฟังก์ชันพหุนาม ได้ นี่คือเนื้อหาของ ทฤษฎีบทสโตน-ไวแยร์สตราสส์ (Stone-Weierstrass theorem)

ประโยค "ลิมิตของฟังก์ชัน f ที่ p คือ L" เหมือนกับประโยค

"สำหรับลำดับลู่เข้า (x_n) ใน M ซึ่งมีลิมิตเท่ากับ pลำดับ (f(x_n)) ลู่เข้าสู่ลิมิต L"

ในกรณีที่ f เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะได้ว่า ประโยคนั้นเหมือนกับ "ทั้งลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของ f ที่ p คือ L"

ฟังก์ชัน f ต่อเนื่อง ที่ p ก็ต่อเมื่อ เราสามารถหาค่าของลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ p และค่านั้นเท่ากับ f(p) หรืออีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชัน f แปลงลำดับใด ๆ ใน M ซึ่งสู่เข้าหา p ไปเป็นลำดับ N ซึ่งลู่เข้าหา f(p)