Grup Archimedean

Dalam aljabar abstrak, sebuah cabang dari matematika, Grup Archimedean adalah grup berurutan linear yang sifat Archimedean berlaku: setiap dua elemen grup positif dibatasi oleh kelipatan bilangan bulat satu sama lain. Himpunan R dari bilangan real bersama dengan operasi penjumlahan dan hubungan urutan biasa antara pasangan bilangan adalah grup Archimedean. Dengan hasil dari Otto Hölder, setiap grup Archimedean isomorfis menjadi subgrup dari grup ini. Nama "Archimedean" berasal dari Otto Stolz, yang menamai properti Archimedean setelah kemunculannya dalam karya Archimedes.^[1]

Sebuah grup aditif terdiri dari himpunan elemen, operasi penjumlahan asosiatif yang menggabungkan pasangan elemen dan mengembalikan satu elemen, sebuah elemen identitas (atau elemen nol) yang jumlahnya dengan elemen lain adalah elemen lain, dan operasi pembalikan aditif sedemikian rupa sehingga jumlah elemen apa pun dan kebalikannya adalah nol.^[2] Grup adalah grup berurutan linear ketika, sebagai tambahan, elemennya dapat diurutkan secara linear dengan cara yang kompatibel dengan operasi grup: untuk semua elemen x , y , dan z , jika x ≤ y maka (x + z) ≤ (y + z) dan (z + x) ≤ (z + y).

Himpunan bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, bersama dengan operasi penjumlahan dan pengurutan biasa (≤), adalah kelompok Archimedean. Setiap subkelompok dari grup Archimedean itu sendiri Archimedean, jadi setiap subgrup grup ini, seperti gugus aditif dari bilangan genap atau dari rasional diadik, juga membentuk gugus Archimedean.

Sebaliknya, seperti yang Otto Hölder tunjukkan, setiap grup Archimedean adalah isomorfis (sebagai grup terurut) ke subgrup dari bilangan real.^[3][4][5][6] Oleh karena itu, setiap grup Archimedean tentu saja merupakan grup abelian: operasi penambahannya harus komutatif.^[3]

Setiap grup Archimedean memiliki properti itu, untuk setiap potongan Dedekind grup, dan setiap elemen grup ε> 0, terdapat elemen grup lain x dengan x di sisi bawah potongan dan x + ε di sisi atas potongan. Namun, terdapat grup tertata non-Archimedean dengan properti yang sama. Fakta bahwa kelompok Archimedean adalah abelian dapat digeneralisasikan: setiap grup yang dipesan dengan properti ini adalah abelian.^[7]

Grup Archimedean dapat digeneralisasikan menjadi Monoid Archimedean, tersusun secara linier monoid yang mematuhi sifat Archimedean. Contohnya termasuk bilangan asli, bilangan non-negatif bilangan rasional, dan bilangan real non-negatif, dengan operasi biner biasa ${\displaystyle +}$ dan order ${\displaystyle <}$. Melalui bukti yang sama seperti untuk grup Archimedean, monoid Archimedean dapat ditampilkan menjadi komutatif.

• Kesetaraan Archimedean